Повторение независимых испытаний

Повторение независимых испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона

Рассмотрим ситуацию, в которой одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других.

Пусть некоторый опыт (испытание) повторяется n раз. Будем считать, что вероятность осуществления события A, связанного с данным опытом, при каждом повторении опыта остается неизменной и равна p (0 k p k q n-k , где С_n k = n! / k!(n-k)! – число сочетаний из n по k, р – вероятность события А, q – вероятность противоположного события Ā.

В различных задачах приходится находить следующие вероятности:

• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит менее m раз: Р_n(k m) = Р_n(m+1)+ Р_n(m+2)+…+ Р_n(n);
• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не более m раз: Р_n(k≤m) = Р_n(0)+ Р_n(1)+…+Р_n(m);
• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее m раз: Р_n(k≥m) = Р_n(m)+ Р_n(m+1)+…+ Р_n(n);
• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее k1 и не более k2 раз: Р_n(k1≤k≤k2) = Р_n(k1)+…+Р_n(k2).

Задача 1.

Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при десятикратном подбрасывании монеты герб выпадет 3 раза?

Решение. Число испытаний n=10 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:

P₁₀(3) = С₁₀ 3 p 3 q 10-3 , где С₁₀ 3 = 10! / 3!(10-3)! = 120, р=1/2, q=1-р=1/2.
P₁₀(3) = 120*(1/2) 3 *(1/2) 7 =120*1/2 10 =120/1024=15/128≈0,117

Задача 2.

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) ровно две девочки; б) не более двух девочек; в) более двух девочек; г) не менее двух и не более трех девочек. Вероятность рождения девочки принять равной 0,48.

Решение. Число испытаний n=5 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:

а) P₅(2) = С₅ 2 p 2 q 5-2 , где С₅ 2 = 5! / 2!(5-2)!=10, р=0,48, q=1-р=0,52.
P₅(2) = 10*(0,48) 2 *(0,52) 3 ≈ 0,32.

б) вероятность того, что среди пяти детей не более двух девочек, равна Р₅(k≤2) = Р₅(0)+Р₅(1)+Р₅(2).
P₅(0) = С₅ 0 p 0 q 5-0 = q 5 =0,525 ≈ 0,038
P₅(1) = С₅ 1 p 1 q 5-1 = 5рq 4 =5*0,48*0,524 ≈ 0,175
P₅(2) ≈ 0,32 (смотри п. а)
Тогда Р₅(k≤2) = Р₅(0)+Р₅(1)+Р₅(2) ≈ 0,038+0,175+0,32 = 0,533.

г) вероятность того, что среди пяти детей не менее двух, но не более трех девочек, равна Р₅(2≤k≤3)= Р₅(2)+Р₅(3),
Р₅(2) ≈ 0,32 (смотри п. а), P₅(3) = С₅ 3 p 3 q 5-3 = 10*0,483*0,522 ≈0,299
Тогда Р₅(2≤k≤3)= Р₅(2)+Р₅(3) ≈ 0,32+0,299 = 0,619.

Случайная вероятность

Содержание:

В теории вероятностей, кроме случайных событий, изучаются случайные величины. Случайные величины тоже связаны со случайными опытами.

Случайная величина – это величина, значение которой зависит от того, каким элементарным событием закончился данный случайный опыт.

Разным элементарным событиям при этом могут соответствовать разные значения случайной величины. Поэтому говорят, что случайная величина – величина, значение которой зависит от случая. В ходе некоторого случайного опыта или наблюдения случайная величина принимает то или иное числовое значение.

Отметим и такую возможность, что случайная величина принимает одно и то же значение при всяком исходе случайного опыта. Такую не меняющую своего значения, то есть постоянную величину тоже можно называть случайной — для единообразия и чтобы не делать оговорок.

Приведем несколько примеров с решением случайных величин

Пример 1.

Предположим, некто кидает игральную кость. Случайной величиной X будем считать число выпавших очков. Поскольку кубик имеет шесть граней и число очков на каждой грани — целое число от 1 до 6, случайная величина X принимает значения из множества <1;2;3;4;5;6>.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 2.

Рост наудачу выбранного человека можно рассматривать как случайную величину, измеряя его, например, в сантиметрах.

Пример 3.

Срок службы телевизора или стиральной машины — случайная величина. Срок службы отсчитывается в днях от момента выпуска или продажи. Свойства этой случайной величины важны, например, при установлении гарантийного периода на новый прибор.

Пример 4.

Число бракованных деталей в партии из 100 одинаковых деталей, взятых на контроль —случайная величина.

Пример 5.

Напряжение в бытовой электрической сети —случайная величина, значения которой колеблются около 220 вольт.

Пример 6.

Вес расфасованных продуктов может несколько отличаться от веса, указанного на упаковке. Шоколадный батончик массой 50 г на самом деле может весить чуть больше или чуть меньше. Потребитель такие отличия не заметит. Зато производителю батончиков колебания в весе небезразличны. В случае серьезного смещения среднего веса в ту или иную сторону производитель может понести убытки.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 7.

Важным примером случайной величины является число успехов в серии испытаний Бернулли.

Пусть, например, проводится 10 испытаний Бернулли. Число успехов в этой серии может принимать любое целое значение 0 до 10. Число неудач также является случайной величиной.

Замечание. Если значения какой-либо величины поддаются точному вычислению, то ее не рассматривают как случайную и изучают другими методами. Например, можно точно сказать, каким днем недели будет 23 сентября 2010 г.: здесь нет случайности.

Пример 8.

Можно точно вычислить, чему равна сумма . Поэтому значение этой суммы не является случайной величиной. Однако если дать эту задачу на контрольной работе в школе, то полученные отвегы могут отличаться от верного ответа непредсказуемым образом. Поэтому ответ школьника можно рассматривать как случайную величину.

Пример 9.

Будем бросать монету до первого выпадения орла. Число бросаний будет случайной величиной, значением которой может быть любое натуральное число.

Распределение вероятностей случайной величины

Случайная величина возникаег как результат случайного опыта. Предположим, что случайная величина X в некотором опыте может принимать несколько значений. Чтобы полностью описать случайную величину X, надо указать, с какими вероятностями она принимает эти значения. Если, например, величина X может принять значение 5, то нужно указать вероятность события «X равно 5». Если величина X может принять значение -4, то нужно указать вероятность события «X равно —4». Такие события принято обозначать и т. д.

Указать вероятность каждого значения можно с помощью таблицы, графика, диаграммы или формулы. В следующем примере указаны значения случайной величины и вероятности этих значений с помощью таблицы.

Пример 10.

Случайная величина Y равна числу очков, выпавших при однократном бросании игрального кубика. Таблица значений этой случайной величины и их вероятностей выглядит так:

В этом примере все вероятности одинаковые. Вероятность поровну распределена между шестью возможными значениями.

Рассмотрим еще одну случайную величину.

Пример 11.

Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий этого опыта нам известна. По горизонтали указано число очков, выпавшее на первой кости, по вертикали —на второй.

Сумма выпавших очков — случайная величина. Возможные значения этой суммы — натуральные числа от 2 до 12. С помощью таблицы элементарных событий можно вычислить распределение вероятностей между возможными значениями нашей случайной величины.

Вычислим, например, вероятность того, что сумма очков равна 7. Выделим желтым цветом элементарные события, благоприятствующие этому событию. Их 6. Так как в этом опыте 36 равновозможных элементарных событий, вероятность каждого из них равна Поэтому вероятность события «сумма очков равна 7» оказывается равна

Таким же способом можно вычислить остальные вероятности и заполнить таблицу.

Вероятности в таблице для лучшего понимания приведены в виде несокращенных дробей.

Это распределение вероятностей можно представить и в виде диаграммы (см. рис. 1).

Высота каждого столбца диаграммы равна вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Основное свойство распределения заключается в том, что сумма всех вероятностей равна 1.

Объясняется это тем, что сумма вероятностей значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий эксперимента.

В природе значения многих случайных величин изменяются непрерывно. Например, время безотказной работы прибора или изделия (телевизора, стиральной машины, автомобиля) может оказаться любым (положительным) числом.

Любым числом может оказаться рост наудачу взятого человека. Можно привести другие примеры. Такие случайные величины называются непрерывными.

Для непрерывных случайных величин распределение вероятностей между возможными значениями описывают с помощью функций.

Вернемся к уже знакомым нам испытаниям Бернулли. Напомним, что испытанием Бернулли называется случайный эксперимент с двумя возможными исходами — успехом и неудачей. Вероятность успеха обычно обозначают через , а вероятность неудачи —через q. Очевидно, справедливо равенство

Напомним также, что вероятность одного какого-нибудь элементарного события, при котором наступает ровно к успехов, равна

Кроме того, мы знаем, что число элементарных событий, благоприятствующих наступлению к успехов в серии из независимых испытаний Бернулли, равно

Пусть случайная величина —число успехов в серии из испытаний Бернулли. S может принимать целые значения от 0 до п.

Пусть событие ( = к) состоит в том, что в результате серии испытаний наступило к успехов. Поэтому

Эта формула дает распределение случайной величины .

Определение. Распределение вероятностей случайной величины называют биномиальным распределением. Название закрепилось потому, что вероятности — это члены разложения бинома .

Пример 12.

Биномиальное распределение для при

По формуле находим, что

Получаем таблицу распределения:

Убедитесь, что сумма вероятностей в таблице равна единице.

Пример 13.

Таблица биномиального распределения для

Как видно из таблицы, распределение вероятностей симметрично относительно значения 0,196. Это объясняется тем, что вероятности успеха и неудачи одинаковы: Наиболее вероятное значение случайной величины 5 равно 8. Наглядно форма биномиального распределения для показана в виде столбиковой диаграммы на рис. 2.

Пример 14.

Еще одно биномиальное распределение. На этот раз для при

Вычисления в этом примере мы приводить не будем. Вы можете их проверить с помощью калькулятора или электронной таблицы на компьютере.

В таблице значения округлены до тысячных. Начиная с 11 успехов, все вероятности настолько малы, что округление превратило их в нуль. В результате округления сумма чисел во второй строке таблицы может оказаться чуть больше или меньше единицы. Интересно посмотреть на диаграмму (рис. 3) этого биномиального распределения. На диаграмме отчетливо видно, что распределение несимметрично. Этого и следовало ожидать в нашем примере, где . На диаграмме легко увидеть наиболее вероятное значение числа успехов:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.